Родился в Костроме. В 2003 г. окончил Российскую академию музыки имени Гнесиных, дирижёрско-хоровой факультет (класс доцента А.В. Малого), в 2005 – ассистентуру-стажировку по специальности «Дирижирование академическим хором» в РАМ им. Гнесиных (класс заслуженного деятеля искусств РФ, профессора Л.А. Поповой), в 2011 – РАМ им. Гнесиных по специальности «Дирижирование симфоническим оркестром» (класс заслуженного деятеля искусств РФ, профессора В.В. Чистякова).
В 2002 году стал лауреатом второй премии III всероссийского конкурса хоровых дирижёров (Салават, республика Башкортостан).
В 2004 году основал Академический камерный хор и стал его художественным руководителем и главным дирижёром. В 2007 году камерный хор вошел в штат государственной филармонии Костромской области. Под руководством А. Мелькова хор дважды становился лауреатом I премии международных конкурсов «Credo» (Таллин, Эстония 2011) и «Хайнувка 2013» (Белосток, Польша 2013) и за годы работы утвердил себя как коллектив, обладающий высоким уровнем исполнительского мастерства. С хором неоднократно выступали известные дирижёры и солисты оперных театров Москвы и Санкт-Петербурга. В течение двух сезонов хор являлся участником авторского абонемента Артёма Варгафтика «Партитуры не горят».
В Костроме совместно с театром «Новая опера» были осуществлены постановки опер «Борис Годунов» и «Хованщина» М.Мусорского, «Князь Игорь» А. Бородина, «Дидона и Эней» Г. Пёрселла, «Любовный напиток» Г. Доницетти.
В репертуаре хора кантатно–ораториальные произведения Чайковского, Танеева, Рахманинова, Стравинского, Прокофьева, Баха, Вивальди, Гайдна, Моцарта, Бетховена, Россини и др.
Алексей Мельков – лауреат областной премии в области музыкального искусства имени М.М. Ипполитова-Иванова; имеет звание «Заслуженный артист Костромской области». Деятельность А. Мелькова отмечена благодарностью Министра культуры РФ, благодарностями и почётными грамотами администрации Костромской области.
